.(本小题满分14分)
设函数(为自然对数的底数),().
(1)证明:;
(2)当时,比较与的大小,并说明理由;
(3)证明:().
【解析】(1)证明:设,
所以.
当时,,当时,,当时,.
即函数在上单调递减,在上单调递增,在处取得唯一极小值,
因为,所以对任意实数均有 .
即,
所以.
(2)解:当时,.
用数学归纳法证明如下:
①当时,由(1)知.
②假设当()时,对任意均有,
令,,
因为对任意的正实数,,
由归纳假设知,.
即在上为增函数,亦即,
因为,所以.
从而对任意,有.
即对任意,有.
这就是说,当时,对任意,也有.
由①、②知,当时,都有.
(3)证明1:先证对任意正整数,.
由(2)知,当时,对任意正整数,都有.
令,得.
所以.
再证对任意正整数,
.
要证明上式,只需证明对任意正整数,不等式成立.
即要证明对任意正整数,不等式(*)成立.
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*):
方法1(数学归纳法):
①当时,成立,所以不等式(*)成立.
②假设当()时,不等式(*)成立,
即.
则.
因为
,
所以.
这说明当时,不等式(*)也成立.
由①、②知,对任意正整数,不等式(*)都成立.
综上可知,对任意正整数,不等式
成立.
方法2(基本不等式法):
因为,
,
……,
,
将以上个不等式相乘,得.
所以对任意正整数,不等式(*)都成立.
综上可知,对任意正整数,不等式
成立.
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点()在函数的图像上,其中=.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求及数列{}的通项公式;
(3)记,求数列{}的前n项和,并证明.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天()的销售价格(单位:元)为,第天的销售量为,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点处的切线与直线平行.
⑴ 求,满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求的取值范围;
⑶ 证明:()
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