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(2010•淄博一模)在△ABC中,已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c,直l1:ax+y+1=0与直线l2:(b2+c2-bc)x+ay+4=0互相平行(其中a≠4)
(I)求角A的值,
(II)若B∈[
π
2
3
)
,求sin2
A+C
2
+cos2B
的取值范围.
分析:(I)利用直线平行,推出a2=b2+c2-bc(a≠4),结合余弦定理,即可求角A的值,
(II)利用二倍角公式以及配方法化简sin2
A+C
2
+cos2B
为二次函数的平方式,通过B∈[
π
2
3
)
推出cosB∈(-
1
2
,0]
,然后求出表达式的取值范围.
解答:解:(I)l1∥l2,得a2=b2+c2-bc(a≠4)
即b2+c2-a2=bc…(2分)∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
bc
2bc
=
1
2
∵A∈(0,π),∴A=
π
3
.…(5分)
(II)sin2
A+C
2
+cos2B=cos2
B
2
+2cos2B-1
=
cosB+1
2
+2cos2B-1=2cos2B+
1
2
cosB-
1
2
=2(cosB+
1
8
)2-
17
32
…(8分)∵B∈[
π
2
3
)
,∴cosB∈(-
1
2
,0]
…(9分)∴2(cosB+
1
8
)2-
17
32
∈[-
17
32
,-
1
4
)
…(11分)
sin2
A+C
2
+cos2B
的取值范围为[-
17
32
,-
1
4
)
…(12分)
点评:本题是中档题考查直线的平行条件的应用,余弦定理二倍角公式配方法求函数的最值,考查计算能力.
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1
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