Question

已知数列{a_n}满足a₁=3a（a＞0），a_n+1=

a 2 n +a2

2an

，设bn=

an-a

an+a

（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与

7

8

的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先求出数列{b_n}的首项，然后根据条件可得b_n+1=

b

2 n

，两边同取以2为底的对数，可得数列{log₂b_n}是首项为-1，公比为2的等比数列，从而可求出数列{b_n}的通项公式；
（2）欲比较S_n与

7

8

的大小，只需判断S_n-

7

8

的符号，利用放缩法和等比数列求和公式可得结论．

解答：解：（1）∵bn=

an-a

an+a

，a₁=3a（a＞0），
∴b1=

a1-a

a1+a

=

2a

4a

=

1

2

，bn+1=

an+1-a

an+1+a

，
∵a_n+1=

a 2 n +a2

2an

，
∴bn+1=

an+1-a

an+1+a

=

a 2 n +a2 2an -a

a 2 n +a2 2an +a

=

(an-a)2

(an+a)2

=

b

2 n

，
而b₁＞0，则b_n＞0，
∴log₂b_n+1=log₂

b

2 n

即log₂b_n+1=2log₂b_n，
∴数列{log₂b_n}是首项为-1，公比为2的等比数列，则log₂b_n=-2^n-1，
∴b_n=

1

22n-1

即数列{b_n}的通项公式为b_n=

1

22n-1

；
（2）S_n＜

7

8

，
证明：S_n-

7

8

=（

1

2

+

1

4

+

1

24

+

1

28

+

1

216

+…）-

7

8

=（

1

24

+

1

28

+

1

216

+…）-

1

8

＜（

1

16

+

1

24

•

1

2

+

1

24

•

1

22

+…）-

1

8

=

1 16

1- 1 2

-

1

8

=0，
∴S_n＜

7

8

．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及数列与不等式的综合应用，同时考查了运算求解的能力和不等式证明中运用放缩的方法，属于难题．