Question

如图，已知F（c，0）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点；⊙F：（x-c）²+y²=a²与x轴交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设⊙F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与⊙F的位置关系；
（3）设直线AB与椭圆C交于另一点G，若△BGD的面积为

24 6

13

c，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析：（1）由于圆F过椭圆C的左焦点，把（-c，0）代入圆F的方程，得4c²=a²，即可得到椭圆的离心率．
（2）在方程（x-c）²+y²=a²中令x=0得y²=a²-c²=b²，可知点B为椭圆的上顶点，进而得到B(0，

3

c)，在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为（3c，0），则点A为（-3c，0），利用斜率计算公式可得k_AB，k_FD．只要判定k_AB•k_FD=-1，即可得到直线AB与⊙F相切．
（3）椭圆的方程可化为3x²+4y²=12c²．由（2）知切线AB的方程为y=

3

3

x+

3

c，联立即可解得点G的坐标．利用点到直线的距离公式可得点D（3c，0）到直线AB的距离d，利用S△BGD=

1

2

|BG|•d=

24 6

13

c即可解得c．

解答：解：（1）∵圆F过椭圆C的左焦点，把（-c，0）代入圆F的方程，得4c²=a²，∴2c=a．
故椭圆C的离心率e=

c

a

=

1

2

．
（2）在方程（x-c）²+y²=a²中令x=0得y²=a²-c²=b²，可知点B为椭圆的上顶点，
由（1）知，

c

a

=

1

2

，∴a=2c，b=

a2-c2

=

3

c，∴B(0，

3

c)，
在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为（3c，0），则点A为（-3c，0），
于是可得直线AB的斜率kAB=

3 c

3c

=

3

3

，
而直线FB的斜率kFB=

3 c

-c

=-

3

，
∵k_AB•k_FD=-1，
∴直线AB与⊙F相切．
（3）椭圆的方程可化为3x²+4y²=12c²
由（2）知切线AB的方程为y=

3

3

x+

3

c，
联立

3x2+4y2=12c2 y= 3 3 x+ 3 c

，解得点G的坐标为(-

24

13

c，

5 3

13

c)．
而点D（3c，0）到直线AB的距离d=

|2 3 c|

1+ 1 3

=3c，
由S△BGD=

1

2

•|BG|•d=

1

2

•

( 24 13 c)2+( 5 3 13 c- 3 c)2

•3c=

24 3

13

c2=

24 6

13

c
解得c=

2

，
∴椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

6

=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到方程组、弦长公式、两点间的距离公式基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．