Question

点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由圆M与X轴相切与焦点F，设M（c，y），则y=或，所以圆的半径为，过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c，PN=NQ=，由∠PQM为钝角，知，由此能够求出椭圆离心率的取值范围．
解答：解：∵圆M与X轴相切与焦点F，
∴不妨设M（c，y），则（因为相切，则圆心与F的连线必垂直于X轴）
M在椭圆上，则y=或（a²=b²+c²），
∴圆的半径为，
过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c（PN，NQ均为半径，则△PQM为等腰三角形）
∴PN=NQ=，
∵∠PQM为钝角，则∠PMN=∠QMN＞45°
即PN=NQ＞MN=c
所以得＞c，即，
得，
a²-2c²+c²e²＞2c²
-4+e²＞0，
e⁴-4e²+1＞0
（e²-2）²-3＞0
e²-2＜-（0＜e＜1）
e²＜-+2
∴0＜e＜．
故答案为：（0，）．
点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．