Question

已知向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，求实数m的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．
∴f（x）=2sin²x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+1=2sin（2x-）+1
∴≤2x-≤（k∈Z）
∴（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；
（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）_min≥m成立
∵x∈[0，]，∴2x-∈
∴sin（2x-）∈
∴f（x）=2sin（2x-）+1∈[0，3]
∴m≤0
∴m的最大值为0．
分析：（Ⅰ）根据向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•，利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，从而可得f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）_min≥m成立．
点评：本题考查向量的数量积运算，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确确定函数解析式是关键．