Question

已知f(x)=

3

sinωx+3cosωx(ω＞0)．
（1）若y=f(x+θ)(0＜θ＜

π

2

)是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）在(-

π

2

，

π

3

)上是增函数，求ω的最大值；并求此时g（x）在[0，π]上的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=

3

sinωx+3cosωx=2

3

sin（ωx+

π

3

），
∴y=f（x+θ）=2

3

sin[ω（x+θ）+

π

3

]，
∵y=f（x+θ）是周期为π的偶函数，0＜θ＜

π

2

，
∴ω=2，2θ+

π

3

=kπ+

π

2

∈（

π

3

，

4π

3

），
∴k=0，θ=

π

12

．
（2））∵g（x）=f（3x）=2

3

sin（3ωx+

π

3

）在（-

π

2

，

π

3

）上是增函数，
∴由2kπ-

π

2

≤3ωx+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），ω＞0得：

2kπ- 5π 6

3ω

≤x≤

2kπ+ π 6

3ω

（k∈Z），
∵f（3x）=2

3

sin（3ωx+

π

3

）在（-

π

2

，

π

3

）上是增函数，
∴

π

3

≤

π 6

3ω

，

- 5π 6

3ω

≤-

π

2

，ω＞0
∴0＜ω≤

1

6

．
∴ω_max=

1

6

．
当ω=

1

6

时，f（x）=2

3

sin（

1

6

x+

π

3

），f（3x）=2

3

sin（

1

2

x+

π

3

）．
∵x∈[0，π]，
∴

1

2

x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴

1

2

≤sin（

1

2

x+

π

3

）≤1．
∴

3

≤2

3

sin（

1

6

x+

π

3

）≤2

3

．
∴当x∈[0，π]，f（3x）=2

3

sin（

1

2

x+

π

3

）∈[

3

，2

3

]．