Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球面的表面积为3π，且A₁C⊥平面BDC₁，
（1）求此四棱柱的体积；
（2）如图，AC与BD交于点E，CB₁与C₁B交于点F，求平面BEF与平面CEF所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）以CD，CB，CC₁，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设根据条件可知正四棱柱为正方体，从而可求正方体的体积（2）由（1）可知：

CA1

为平面BEF的一个法向量，且

CA1

=(1，1，1)，同理可证

BD1

为平面CEF的一个法向量，且

BD1

=(1，-1，1)，从而可求平面BEF与平面CEF所成的锐二面角的大小

解答：解：（1）以CD，CB，CC₁，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=a，AA₁=b，则D（a，0，0），A（a，a，0），
B（0，a，0），C₁（0，0，b），A₁（a，a，b）------------------------------分2分
∴

DB

=(-a，a，0)，

DC1

=(-a，0，b)，

CA1

=(a，a，b)
由A₁C⊥平面BDC₁可得：

CA1

•

DB

=0即-a²+a²=0显然成立，------4分
及

CA1

•

DC1

=0即-a²+b²=0，
可得：a=b即此正四棱柱为正方体------------6分
由外接球表面积为4πr²=3π，可得：r=

3

2

----------------------------------7分
∴

3

a=

3

求得正方体的棱长为1，∴正方体的体积为1；-----------------8分
（2）由（1）可知：

CA1

为平面BEF的一个法向量，且

CA1

=(1，1，1)----------------9分
同理可证

BD1

为平面CEF的一个法向量，且

BD1

=(1，-1，1)--------------------10分
∵cos?

CA1

，

BD1

＞=

CA1 • BD1

| CA1 |•| BD1 |

=

1-1+1

3 • 3

=

1

3

--------------------------13分
∴平面BEF与平面CEF所成的锐二面角的大小为arccos

1

3

---------------------14分

点评：本题以正四棱柱为载体，考查几何体的体积，考查面面角，关键是建立坐标系，用向量的方法解决．