Question

（2006•丰台区一模）四边形ABCD是梯形，

AB

•

AD

=0，

AB

与

CD

共线，A，B是两个定点，其坐标分别为（-1，0），（1，0），C、D是两个动点，且满足|CD|=|BC|．
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P，过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M，N两点，求四边形CMPN面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

AB

•

AD

=0，

AB

与

CD

共线可知四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，对称轴为x轴的抛物线．由此能求出动点C的轨迹E的方程．
（Ⅱ）设直线BC方程y=k（x-1），由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，设P（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由韦达定理结合题设条件能求出四边形CMPN面积的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由

AB

•

AD

=0，

AB

与

CD

共线可知，
四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，
所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，
对称轴为x轴的抛物线．
设动点C的轨迹E的方程y²=2px（p＞0），
则p=|AB|=2
所以动点C的轨迹E的方程是y²=4x（x≠0，x≠1）…（3分）
（Ⅱ）设直线BC斜率为k，
由题意知，k存在且k≠0，
直线BC的方程y=k（x-1）
依题意

y=k(x-1) y2=4x

，
∴k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设P（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
则x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
|PC|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4(1+k2)

k2

直线MN垂直于直线BC，
以-

1

k

替代上式中的k，得|MN|=4（k²+1）…（7分）
∴S四边形CMPN=

1

2

|PC|•|BN|+

1

2

|PC|•|BM|
=

1

2

|PC|(|BN|+|BM|)
=

1

2

|PC|•|MN|
=

1

2

•

4(1+k2)

k2

•4(1+k2)
=8•

k4+2k2+1

k2

=8(k2+

1

k2

+2)
∵k2+

1

k2

≥2∴8(k2+

1

k2

+2)≥32
四边形CMPN面积的最小值等于32． …（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是圆锥曲线知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．