Question

如图所示，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，｜AM｜＝，｜AN｜＝3，且｜BN｜＝6，建立适当的坐标系，求曲线C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解析：方法一　如图所示，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点，建立直角坐标系，作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(a，0)，则x1＝｜AN｜＝3，x2＝｜BF｜＝｜BN｜＝6，y1＝｜DM｜＝2，a＝x1＋＝4．设点P为曲线段C上任一点，则P属于集合｛(x，y)｜(x－a)2＋y2＝x2，3≤x≤6，y＞0｝，故曲线C的方程为y2＝8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)． 　　方法二　如图所示，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，根据题意，曲线C是以N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．设曲线段C的方程为 　　y2＝2px(p＞0)(xA≤x≤xB，y＞0)， 　　其中xA、xB分别为A、B的横坐标，P＝｜MN｜，所以M(－，0)，N(，0)． 　　由｜AM｜＝，｜AN｜＝3，得 解得或 　　因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA，所以p＝4，xA＝1，由点B在曲线段C上，得xB＝｜BN｜－＝4． 　　综上，得曲线段C的方程为y2＝8x(1≤x≤4，y＞0)． 　　点评：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系求曲线方程的基本思想．方法一充分运用了平面图形的几何性质，运用直接法求轨迹方程；方法二则体现了对抛物线概念的熟练掌握和应用．