Question

已知定点F（1，0），动点P（异于原点）在y轴上运动，连接FP，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且

PM

•

PF

=0，|

PN

|=|

PM

|．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若

OA

•

OB

=-4且4

6

≤|AB|≤4

30

，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出动点N，则M，P的坐标可表示出，利用PM⊥PF，k_PMk_PF=-1，求得x和y的关系式，即N的轨迹方程．
（2）设出直线l的方程，A，B的坐标，根据

OA

•

OB

=-4，推断出x₁x₂+y₁y₂=-4进而求得y₁y₂的值，把直线与抛物线方程联立消去x求得y₁y₂的表达式，进而气的b和k的关系式，利用弦长公式表示出|AB|²，根据|AB|的范围，求得k的范围．

解答：解：（1）设动点N（x，y），则M（-x，0），P（0，

y

2

）（x＞0），
∵PM⊥PF，∴k_PMk_PF=-1，即

y 2

x

•

y 2

-1

=-1，
∴y²=4x（x＞0）即为所求．
（2）设直线l方程为y=kx+b，l与抛物线交于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由

OA

•

OB

=-4，得x₁x₂+y₁y₂=-4，即

y12•y2 2

16

+y₁y₂=-4，∴y₁y₂=-8，
由

y2=4x y=kx+b

可得 ky²-4y+4b=0（其中k≠0），∴y₁y₂=

4b

k

=-8，b=-2k，
当△=16-16kb=16（1+2k²）＞0时，|AB|²=（1+

1

k2

）(y2 -y1)2=

1+k2

k2

•[(y2 +y1)2-4y₁•y₂]=

1+k2

k2

（

16

k2

+32）．
由题意，得16×6≤

1+k2

k2

•≤16×30，解得

1

4

≤k2≤1，
∴

1

2

≤k≤1，或-1≤k≤-

1

2

．
即所求k的取值范围是[-1，-

1

2

]∪[

1

2

 1]．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，两个向量的数量的运算，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，属于中档题．