Question

16．如图，过点M（1，0）的直线与函数y=sinπx（0≤x≤2）的图象交于A，B两点，则$\overrightarrow{OM}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用三角函数的图象的性质设出A（x₁，sinπx₁），B（2-x₁，-sinπx₁），
$\overrightarrow{OA}$=（x₁，sinπx₁），$\overrightarrow{OB}$=（2-x₁，-sinπx₁），根据M（1，0）是AB的中点，得出$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$），
利用向量的数量积求解即可．

解答 解：∵过点M（1，0）的直线与函数y=sinπx（0≤x≤2）的图象交于A，B两点
∴根据三角函数的对称性得出；A（x₁，sinπx₁），B（2-x₁，-sinπx₁）
∴$\overrightarrow{OA}$=（x₁，sinπx₁），$\overrightarrow{OB}$=（2-x₁，-sinπx₁）
$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$=（2，0）
∵M（1，0）是AB的中点，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{OM}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）^{2}}{2}$=$\frac{4}{2}$=2，
故选：B．

点评 本题考察了三角函数图象的性质，平面向量的运用，考察了学生对于数形结合的思想的运用，属于中档题．