Question

8．在△OAB中，C为OA上的一点，且$\overrightarrow{OC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$，D是BC的中点，过点A的直线l∥OD，P是直线l上的动点，若$\overrightarrow{OP}={λ_1}\overrightarrow{OB}+{λ_2}\overrightarrow{OC}$，则λ₁-λ₂=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． -$\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． -$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根据OD是△OBC的中线，得$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$．由直线l∥OD，可得存在实数k使$\overrightarrow{AP}$=k$\overrightarrow{OD}$，结合向量的基本定理以及向量的加法法则，进行运算即可算出则λ₁-λ₂的值．

解答 解：∵D是BC的中点，∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$
∵$\overrightarrow{OC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$，∴$\overrightarrow{OA}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{OC}$，
∵直线l∥OD，∴存在实数k，使$\overrightarrow{AP}$=k$\overrightarrow{OD}$，
因此，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{OC}$+k$\overrightarrow{OD}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{OC}$+k（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{k}{2}$$\overrightarrow{OB}$+（$\frac{5}{4}$+$\frac{k}{2}$）$\overrightarrow{OC}$，
∵由已知，得$\overrightarrow{OP}={λ}_{1}\overrightarrow{OB}+{λ}_{2}\overrightarrow{OC}$
∴根据平面向量基本定理，得$\frac{k}{2}$=λ₁且$\frac{5}{4}$+$\frac{k}{2}$=λ₂
因此，λ₁-λ₂=$\frac{k}{2}$-（$\frac{5}{4}$+$\frac{k}{2}$）=-$\frac{5}{4}$，
故选：D．

点评 本题在△OAB中，给出边的三等分点C和△OBC的中线OD，探索向量$\overrightarrow{OP}$表示成$\overrightarrow{OB}、\overrightarrow{OC}$的线性组合问题，着重考查了平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．