Question

已知向量

a

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，

b

=(-

3

，

1)，f(x)=

a

•

b

-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象按向量

a

=（-

π

3

，-1）平移后，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最小正周期求解f（x）的最小正周期，利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象按向量

a

=（-

π

3

，-1）平移后，得到y=g（x）的图象，求出函数的解析式，然后求y=g（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f(x)=

a

•

b

-1
=-

3

cos

x

2

+sin

x

2

-1
=2(

1

2

sin

x

2

-

3

2

cos

x

2

)-1
=2sin(

1

2

x-

π

3

)-1
∴最小正周期T=

2π

|ω|

=4π
由

π

2

+2kπ≤

1

2

x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，（k∈Z）得

5π

3

+4kπ≤x≤

11π

3

+4kπ
∴f(x)=

a

•

b

-1的单调减区间是[

5π

3

+4kπ，

11π

3

+4kπ]（k∈Z）…（6分）
（Ⅱ）由已知得g(x)=f(x+

π

3

)-1=2sin(

1

2

x-

π

6

)-2
由0≤x≤2π可得-

π

6

≤

1

2

x-

π

6

≤

5π

6

，
由y=sinx得图象可知
当

1

2

x-

π

6

=

π

2

，即x=

4π

3

时，g(x)max=g(

4π

3

)=0
当

1

2

x-

π

6

=-

π

6

，解得x=0．
即x=0时，g（x）_min=g（0）=-3．…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的基本性质，考查向量的数量积的应用，考查计算能力．