Question

已知动点P（x，y）满足log₄（x+2y）+log₄（x-2y）=1．
（1）求x，y所满足的等量关系式；
（2）求|x|-|y|的最小值．

Answer 1

分析：（1）先考虑对数式有意义，得x+2y＞0，x-2y＞0，故x＞2|y|．另一方面，log₄（x+2y）（x-2y）=1=log₄4，得到：x²-4y²=4．两者结合即得x，y所满足的等量关系式；
（2）设|x|-|y|=t，则|x|=|y|+t，t＞0，将其代入|x|²-4|y|²=4得|y|²-2t|y|-t²+4=0利根的判别式△≥0求得t的取值范围，从而得出|x|-|y|的最小值．

解答：解：（1）由已知，得x+2y＞0，x-2y＞0，故x＞2|y|．
另一方面，log₄（x+2y）（x-2y）=1=log₄4，故（x+2y）（x-2y）=4，即x²-4y²=4．
∴x²-4y²=4（x＞2|y|）．
（2）设|x|-|y|=t，则|x|=|y|+t，t＞0，将其代入|x|²-4|y|²=4得
|y|²-2t|y|-t²+4=0．①
∴△=4t²-12（4-t²）=16（t²-3）≥0．
注意到t＞0，故t≥

3

．
将t=

3

代入方程①，解得|y|=

3

3

，故|x|=

4 3

3

＞2|y|，于是|x|-|y|的最小值是

3

．

点评：本小题主要考查对数的运算性质、函数的最值及其几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．