Question

过抛物线y²=4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则P点的轨迹方程为

1. A.
   y²=4（x-2）
2. B.
   y²=-4（x+2）
3. C.
   y²=4（x+2）
4. D.
   y²=x-1

Answer 1

A
分析：先求出焦点的坐标，用待定系数法将MN所在的直线方程设出来，得到其参数方程，与抛物线方程联立得到M，N的横纵坐标所满足的参数方程x₁+x₂=，y₁+y₂=，再利用平行四边形对角线交于中点的性质，求出点P（x，y），的参数方程，消参数后即可得到点P的横纵坐标所满足的方程，
解答：由已知抛物线y²=4x，故焦点坐标为（1，0）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵平行四边形MONP，
∴可设线段MN与线段OP的交点为H（x₀，y₀），P（x，y），
由平行四边形的性质，H是OP的中点，
∴x₀=x，y₀=y ①
当直线MN的方程为x=1时，中点就是F，此时P点的坐标为（2，0）
当直线的斜率存在在时，设斜率为k，则直线MN的方程可设为y=k（x-1）
由得k²x²-2k²x+k²=4x，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=，
故y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=k×）-2k=
M，N的中点为H，故有x₀=，y₀=
又由①，可得x==2+，y=
两式联立消去k得x=2+，整理得y²=4（x-2），验证知（2，0）在y²=4（x-2）上，
故应选A．
点评：本题是解析几何中一道较繁琐的题，考查直线与圆锥曲线的位置关系，参数方程的相关知识，设参，消参的相关技巧，综合性较强．对符号运算能力要求较高．