Question

（2004•黄埔区一模）直线y=

3

3

x绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆（x-2）²+y²=3的交点个数是

1

．

Answer 1

分析：由已知直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系求出倾斜角，进而求出直线绕原点逆时针方向旋转30°后的倾斜角，得到此时直线的方程，由圆的方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，比较得到d=r，即此时直线与圆相切，故此时直线与圆的交点个数为1．

解答：解：∵直线y=

3

3

x的斜率为

3

3

，
∴此直线的倾斜角为30°，
∴此直线绕原点逆时针方向旋转30°后倾斜角为60°，
∴此直线旋转后的方程为y=

3

x，
由圆（x-2）²+y²=3，得到圆心坐标为（2，0），半径r=

3

，
∵圆心到直线y=

3

x的距离d=

2 3

2

=

3

=r，
∴该直线与圆相切，
则直线与圆（x-2）²+y²=3的交点个数是1．
故答案为：1

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线斜率与倾斜角的关系，圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中直线与圆的位置关系可以由d与r的大小来判定，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．