Question

已知函数．
（Ⅰ）证明：对于定义域中任意的x均有f（1+x）+f（1-x）=2；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．

Answer 1

证明：（Ⅰ）=，
即对于定义域中任意的x均有f（1+x）+f（1-x）=2．
（Ⅱ）设x₁，x₂是（1，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，
=．
因为1＜x₁＜x₂，所以x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．
分析：（1）将f（1+x）和f（1-x）代入进行化简；
（2）要求用定义证明，所以按步骤：取值-作差-化简-判号-结论证明即可．
点评：本题考察函数的性质，属基础题，题目比较常规，所以按常规思路解决就很好．