Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

解 （Ⅰ）由题设得：f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=1+sin2x+2cos²x
=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2，
∴f（x）的最小正周期为π，
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）得，

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ，k∈z
∴f（x）的单调递减区间为[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]，
∴

2

sin(2x+

π

4

)+2∈[1，2+

2

]，
∴当x=

π

2

时，f（x）取到最小值为1，当x=

π

8

时，f（x）取到最大值为2+

2

．