练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设函数f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2。
    （1）求函数f（x）的单调区间；
    （2）当时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）若关于x的方程x2+x+a=f（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围。
    解：（1）函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）

    由f'（x）>0，得-2 ＜x＜-1或x>0；
    由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0
    所以f（x）的递增区间是（-2，-1），（0，+∞）；
    递减区间是（-∞，-2），（-1，0）。
    （2）由（1）知f（x）在上单调递减，在[0，e-1]上单调递增
    又
    且
    所以当时，f（x）max=e2-2
    因为当时，不等式f（x）＜m恒成立，
    所以m>f（x）max，即m>e2-2，
    故m的取值范围为（e2-2，+∞）。
    （3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0
    记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，则
    由g'（x）>0，得x＜-1或x>1；
    由g'（x）＜0，得-1＜x＜1
    所以g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增
    为使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
    只需g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，
    于是有即
    解得2-2ln2＜a≤3-2ln3
    故实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]。
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为
    4
    4
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•安徽）设函数f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
    （Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β-α）；
    （Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•浦东新区二模）记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．
    （1）判断函数f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
    （2）设函数f（x）=log2（1-2x），求f（x）的反函数f-1（x），并判断f（x）是否是M的元素；
    （3）f（x）=
    axx+b
    ∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，
    例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
    （1）设函数f（x）=log2（1-2x），判断f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函数f-1（x）；
    （2）f(x)=
    axx+b
    ∈M    （a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）设函数f（x）=xlog2x+（1-x）log2（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．
    （2）设正数P1，P2，P3，…P2n满足P1+P2+…P2n=1，求证：P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+…+P2nlog2P2n≥-n．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案