Question

已知函数．
（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=-lnx-ax²+x，
f′（x）=--2ax+1=-．…（2分）
令△=1-8a．
当a≥时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减．…（4分）
当0＜a＜时，△＞0，方程2ax²-x+1=0有两个不相等的正根x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，
则当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，f′（x）＜0，
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0，
这时f（x）不是单调函数．
综上，a的取值范围是[，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈（0，）时，f（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，
且x₁+x₂=，x₁x₂=．
f（x₁）+f（x₂）=-lnx₁-a+x₁-lnx₂-a+x₂
=-（lnx₁+lnx₂）-（x₁-1）-（x₂-1）+（x₁+x₂）
=-ln（x₁x₂）+（x₁+x₂）+1=ln（2a）++1．…（9分）
令g（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，
则当a∈（0，）时，g′（a）=-=＜0，g（a）在（0，）单调递减，
所以g（a）＞g（）=3-2ln2，即f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．…（12分）
分析：（1）先由f（x），求出f′（x）=--2ax+1=-．再利用导数判断函数的单调性，由f（x）是单调函数，能求出a的取值范围．
（2）由（1）知，当且仅当a∈（0，）时，f（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，且x₁+x₂=，x₁x₂=．求得f（x₁）+f（x₂）=-ln（x₁x₂）+（x₁+x₂）+1=ln（2a）++1．令g（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，由此能够证明f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．
点评：本题考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．