Question

已知函数y=f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y，等式f(x)+f(y)=f(x+y)恒成立，若数列{a_n}满足a₁=f(0)，且，则a₂₀₁₁的值为

A．4017

B．4018

C．4019

D．4021

Answer 1

D

因为是选择题，可用特殊函数来研究，根据条件，底数小于1的指数函数符合题意，可令f（x）=()^x，从而很容易地求得则a₁=f（0）=1，再由 f(a_n+1)=（n∈N^*），得到a_n+1=a_n+2，由等差数列的定义求得结果．
解：根据题意，不妨设f（x）=()^x
则a₁=f（0）=1，
∵f(a_n+1)=（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+2
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴a_n=2n-1
∴a₂₀₁₁=4021
故选D