Question

（本题满分10分）一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图），现在小船在水平面P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西30米处（其中PQ⊥水面），求小船与汽车间的最短距离（不考虑汽车与小船本身的大小）.

Answer 1

解：设经过时间t汽车在A点，船在B点，（如图）…………1分
则AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，
…………3分
设小船所在平面为,AQ,QP确定平面为β,记∩β=l,由AQ∥,AQβ得AQ∥l，
又PQ⊥水面，即PQ⊥，作AC∥PQ，则AC⊥.连结CB，则AC⊥CB .
再由AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，                                     …………5分
∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40–10t）2+(30–20t)2
=100［5(t–2)2+9］,                                                    …………8分
t=2时AB最短，最短距离为30 m.                                    …………10分

略