Question

【题目】已知函数f（x）=lg （a＞0）为奇函数，函数g（x）= +b（b∈R）．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；
（Ⅲ）当x∈[ ， ]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤log（x）有解，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 为奇函数得：f（﹣x）+f（x）=0，

即 ，

所以 ，解得a=1，

（Ⅱ）当b＞1时，设 ，

则h（x）是偶函数且在（0，+∞）上递减

又

所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零点，方徎g（x）=ln|x|有2个实数根．

（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤log（x）等价于 ，

即 在 有解，

故只需 ，

因为 ，所以 ，

函数 ，

所以 ，

所以b≥﹣13，所以b的取值范围是[﹣13，+∞）．

【解析】（Ⅰ）由 为奇函数得：f（﹣x）+f（x）=0，即可求a；（Ⅱ）当b＞1时，设 ，则h（x）是偶函数且在（0，+∞）上递减，即可讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤log（x）等价于 ，即 在 有解，故只需 ，即可求b的取值范围．
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．