Question

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（3-x），若当x∈（0，3）时，f（x）=2，则当x∈（-6，-3）时，f（x）=

-2^x+6

．

Answer 1

分析：由x∈（-6，-3），得到x+6∈（0，3），则有f（x+6）=2^x+6．然后利用函数f（x）为奇函数，且满足f（x+3）=f（3-x）得到f（x）与f（x+6）的关系，则当x∈（-6，-3）时，f（x）的解析式可求．

解答：解：设x∈（-6，-3），则x+6∈（0，3），
∵当x∈（0，3）时，f（x）=2^x，
∴f（x+6）=2^x+6．
由f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
又f（3+x）=f（3-x），∴f[3+（3+x）]=f[3-（3+x）]，
即：f（-x）=f（x+6），
∴-f（x）=f（x+6），
∴f（x）=-f（x+6）=-2^x+6 （ x∈（-6，-3））．
∴当x∈（-6，-3）时，f（x）=-2^x+6．
故答案为：-2^x+6．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数就行的性质，该类问题的求解方法是：要求函数在某一区间上的解析式，首先设出该区间上的变量x，然后通过变形把x转化到给定解析式的区间上，然后再借助于函数的奇偶性或中骑行求解，是中档题．