Question

某社区举办防控甲型H7N9流感知识有奖问答比赛，甲、乙、丙三人同时回答一道卫生知识题，三人回答正确与错误互不影响．已知甲回答这题正确的概率是

3

4

，甲、丙两人都回答错误的概率是

1

12

，乙、丙两人都回答正确的概率是

1

4

．
（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题正确的概率；
（Ⅱ）用ξ表示回答该题正确的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：概率与统计

分析：（ I）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件A、B、C，由题设分别求出P（A），P（

.

A

）P（

.

C

），P（B）P（C），由此能求出乙、丙两人各自回答这道题正确的概率．
（ II）由题设知ξ的可能取值为0、1、2、3，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答： 解：（ I）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件A、B、C，
则P（A）=

3

4

，且P（

.

A

）P（

.

C

）=

1

12

，（1分）
P（B）P（C）=

1

4

，（2分）
即[1-P（A）]•[1-P（C）]=

1

12

，（3分）
P（B）P（C）=

1

4

，（4分）
∴P（B）=

3

8

，（5分）
P（C）=

2

3

．（6分）
（ II） ξ的可能取值为0、1、2、3．
则P（ξ=0）=P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=

1

4

×

1

3

×

5

8

=

5

96

，（7分）
P（ξ=1）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）=

7

24

，（8分）
P（ξ=2）=P(A•B•

.

C

)+P(A•

.

B

•C)+P(

.

A

•B•C)=

15

32

，（9分）
P（ξ=3）=P（A•B•C）=

3

16

，（10分）
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	5 96	7 24	15 32	3 16

（11分）
∴ξ的数学期望Eξ=0×

5

96

+1×

7

34

+2×

15

32

+3×

3

16

=

43

24

．（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用，是中档题．