Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的是

 

（写出所有正确命题的序号）．
①若ab＞c²，则C＜

π

3

；
②若a+b＞2c，则C＜

π

3

；
③若a⁴+b⁴=c⁴，则C＜

π

2

；
④若（a+b）c＜2ab，则C＞

π

2

；
⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²，则C＞

π

3

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：利用余弦定理结合基本不等式加以证明，可得①②③的结论都成立，从而得到它们正确的；对于④⑤，取特殊的a、b、c值，可知结论不一定成立，由此即可得到本题的答案．

解答： 解：对于①，若ab＞c²，
根据余弦定理，可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

a2+b2-ab

2ab

≥

1

2

，
结合C为三角形的内角，可得C＜

π

3

，故正确；
对于②，若a+b＞2c，
根据余弦定理，可得c²=a²+b²-2abcosC，
∴4c²=4（a+b）²-8ab（1+cosC）＜（a+b）²，
可得3（a+b）²＜8ab（1+cosC），
结合2

ab

≤a+b，得到12ab≤3（a+b）²，
∴12ab＜8ab（1+cosC），解得cosC＞

1

2

，结合C为三角形的内角，可得C＜

π

3

，故正确；
对于③，若a⁴+b⁴=c⁴，则（a²+b²）²=c⁴+2a²+b²＞c⁴，
∴a²+b²＞c²，可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，得C＜

π

2

，故正确；
对于④⑤，取a=b=2，c=1，可得（a+b）c＜2ab、（a²+b²）c²＜2a²b²成立，
但C为最小角，必定是锐角且小于

π

3

，故C＞

π

2

与C＞

π

3

圴不正确，得④⑤都是错误的．
故答案为：①②③．

点评：本题给出三角形边之间的关系式，判定角C的大小．着重考查了余弦定理、基本不等式、命题真假的判断等知识，属于中档题．