Question

17．在平面直角坐标系xoy中，圆O：x²+y²=1，圆M：（x+a+3）²+（y-2a）²=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为-1≤a≤$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1，利用圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，可得|OM|≤2，进而得出答案．

解答 解：由题意，圆M：（x+a+3）²+（y-2a）²=1（a为实数），圆心为M（-a-3，2a）
从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1．
∵圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，
∴|OM|≤2，
∴（a+3）²+4a²≤4，
∴-1≤a≤$\frac{3}{5}$，
故答案为：-1≤a≤$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．