Question

不等式a(x2+

1

x2

)+x+

1

x

+11a＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A、（0，+∞）

B、（-∞，1]

C、[0，+∞）

D、[0，1）

Answer 1

分析：由x＞0，可得x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=1时取等号．令x+

1

x

=t≥2，则x2+

1

x2

=(x+

1

x

)2-2=t2-2．于是不等式a(x2+

1

x2

)+x+

1

x

+11a＞0，对任意x∈（0，+∞）恒成立?a（t²-2）+t+11a＞0对于t∈[2，+∞）恒成立?a＞(

-t

t2+9

)max，t∈[2，+∞）．利用导数研究函数f（t）=

-t

t2+9

，t∈[2，+∞）的单调性极值与最值即可．

解答：解：∵x＞0，∴x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=1时取等号．
令x+

1

x

=t≥2，则x2+

1

x2

=(x+

1

x

)2-2=t2-2．
∴不等式a(x2+

1

x2

)+x+

1

x

+11a＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立?a（t²-2）+t+11a＞0对于t∈[2，+∞）恒成立．
?a＞(

-t

t2+9

)max，t∈[2，+∞）．
令f（t）=

-t

t2+9

，t∈[2，+∞）．f′(t)=

-(t2+9)+2t2

(t2+9)2

=

t2-9

(t2+9)2

，
令f′（t）=0，解得t=0．
当2≤t＜3时，f′（t）＜0，此时函数f（x）单调递减；当3＜t时，f′（t）＞0，此时函数f（x）单调递增．
f（2）=-

2

13

，而当t→+∞时，f（t）→0，
∴a≥0．
故选C．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元法、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本方法，属于难题．