Question

给出下列五个命题，其中正确命题的序号为

⑤

．
①函数y=|sin（2x+

π

3

）-

1

3

|的最小正周期是

π

2

；
②函数y=sin（x-

3π

2

）在区间[π，

3π

2

]上单调递减；
③直线x=

5π

4

是函数y=sin（2x+

5π

2

）的图象的一条对称轴；
④函数y=sinx+

4

sinx

，x∈（0，π）的最小值是4；
⑤函数y=tan

x

2

-cscx的一个对称中心为点（π，0）．

Answer 1

分析：①检验f（x+

π

2

）=|sin（2x+π+

π

3

）-

1

3

|=|sin（2x+

1

3

π）+

1

3

|≠f（x）可判断①
②y=sin（x-

3π

2

）=cosx在区在区间[π，

3

2

π]上单调递增，可判断②
③根据正弦函数与余弦函数在对称轴处取得函数的最值，把x=

5π

4

代入到函数y=sin（2x+

5π

2

）=cos2x进行检验，可判断③
④由x∈（0，π）可得0＜sinx≤1，结合函数y=sinx+

4

sinx

 的单调性可判断④
⑤、先设函数y=tan

x

2

-cscx上任意一点M（x，y）关于点（π，0）对称的点N（x′，y′），

x=2π-x′ y=-y′

，代入到y=tan

x

2

-cscx中可求对称函数-y′=tan(π-

1

2

x′)-csc（2π-x′），可判断⑤

解答：解：∵f（x+

π

2

）=|sin（2x+π+

π

3

）-

1

3

|=|sin（2x+

1

3

π）+

1

3

|≠f（x），而f（x+π）=|sin（2x+2π+

π

3

）-

1

3

|=|sin（2x+

π

3

）-

1

3

|=f（x），则函数的最小正周期是π，故①错误
②y=sin（x-

3π

2

）=cosx在区在区间[π，

3

2

π]上单调递增，故②错误
③x=

5π

4

时，函数y=sin（2x+

5π

2

）=cos2x的值为0，不是最值点，不符合对称轴的性质，故③错误
④∵x∈（0，π）
∴0＜sinx≤1
y=sinx+

4

sinx

在sinx=1时取得最小值5
∴y的最小值不是4，故④错误
⑤设函数y=tan

x

2

-cscx上任意一点M（x，y）关于点（π，0）对称的点N（x′，y′）
则

x+x′=2π y+y′=0

，即

x=2π-x′ y=-y′

代入到y=tan

x

2

-cscx中可得-y′=tan(π-

1

2

x′)-csc（2π-x′）
∴y′=tan

1

2

x′-cscx′，即函数y=tan

x

2

-cscx的图象关于点（π，0）对称，故⑤正确
故答案为：⑤

点评：本题主要考查了三角函数的周期的判断，三角函数的诱导公式及函数的单调性的应用，函数的单调性在函数的最值求解中的应用及三角函数的对称性的应用，属于函数知识的综合应用