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抛物线D以双曲线C:8y2-8x2=1的焦点F(0,c),(c>0)为焦点.

(1)求抛物线D的标准方程;

(2)过直线l:y=x-1上的动点P作抛物线D的两条切线,切点为A,B.求证:直线AB过定点Q,并求出Q的坐标;

(3)在(2)的条件下,若直线PQ交抛物线D于M,N两点,求证:|PM|·|QN|=|QM|·|PN|

答案:
解析:

  解:(1)由题意,

  所以,抛物线D的标准方程为 3分

  (2)设

  由

  抛物线D在点A处的切线方程为 4分

  而A点处的切线过点

  即

  同理,

  可见,点A,B在直线上.

  令

  所以,直线AB过定点Q(1,1) 6分

  (3)设

  直线PQ的方程为

  由

  得

  由韦达定理, 9分

  而

   12分

  将代入方程(*)的左边,得

  (*)的左边

  

  =0.

  因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|.14分


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(  )
A、圆B、两条平行直线C、抛物线D、双曲线

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