精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图1,已知抛物线C:y=3x2(x≥0)与直线x=a.直线x=b(其中0≤a≤b)及x轴围成的曲边梯形(阴影部分)的面积可以由公式S=b3-a3来计算,则如图2,过抛物线C:y=3x2(x≥0)上一点A(点A在y轴和直线x=2之间)的切线为l,S1是抛物线y=3x2与切线l及直线y=0所围成图形的面积,S2是抛物线y=3x2与切线l及直线x=2所围成图形的面积,求面积s1+s2的最小值.

【答案】分析:设切点A的坐标为(a,3a2),切线l的方程为y-3a2=6a(x-a),令y=0得x=,令x=2得y=12a-3a2,所以=,记,转化为求在a∈[0,2]时的最小值.
解答:解:设切点A的坐标为(a,3a2),(1分)
则y′|x=a=6a所以切线l的方程为:
y-3a2=6a(x-a),令y=0
得x=,令x=2得y=12a-3a2,(3分)
所以=
,(5分)
则转化为求在a∈[0,2]时的最小值,
因为,由(7分)
解得或a=4,因为f(0)=8,f(2)=2,.(9分)
所以当,f(a)取得最小值.因此面积S1+S2的最小值
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到面积s1+s2的最小值的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图1,已知抛物线C:y=3x2(x≥0)与直线x=a.直线x=b(其中0≤a≤b)及x轴围成的曲边梯形(阴影部分)的面积可以由公式S=b3-a3来计算,则如图2,过抛物线C:y=3x2(x≥0)上一点A(点A在y轴和直线x=2之间)的切线为l,S1是抛物线y=3x2与切线l及直线y=0所围成图形的面积,S2是抛物线y=3x2与切线l及直线x=2所围成图形的面积,求面积s1+s2的最小值.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图1,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)如图2,若P点为抛物线上不同于A的一点,连接PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为S、R.

①求证:PB=PS;

②判断△SBR的形状;

③试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似?若存在,请找出M点的位置;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013-2014学年人教版高考数学文科二轮专题复习提分训练24练习卷(解析版) 题型:解答题

如图所示,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于ABCD四个点.

(1)r的取值范围;

(2)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线ACBD的交点P的坐标.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图1,已知抛物线C:y=3x2(x≥0)与直线x=a.直线x=b(其中0≤a≤b)及x轴围成的曲边梯形(阴影部分)的面积可以由公式S=b3-a3来计算,则如图2,过抛物线C:y=3x2(x≥0)上一点A(点A在y轴和直线x=2之间)的切线为l,S1是抛物线y=3x2与切线l及直线y=0所围成图形的面积,S2是抛物线y=3x2与切线l及直线x=2所围成图形的面积,求面积s1+s2的最小值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案