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已知数列{an}中,a1=,a2=,且数列{bn}是公差为-1的等差数列,其中bn=log2(an+1-),数列{cn}是公比为的等比数列,其中cn=an+1-,求数列{an}的通项公式及它的前n项和.

∵a1=,a2=

  ∴b1=log2-×)=-2,c1=-×=.

  ∵{bn}是公差为-1的等差数列,{cn}是公比为的等比数列.

  ∴bn=

  即

  消去an+1,得an=-.

  Sn=a1+a2+…+an=3(+++…+)+2(+++…+

  =3×=3--1+.


解析:

求通项公式就是求一个关于n的未知函数.在事先无法估计函数的形式结构时,只要列出关于这个未知函数的方程或方程组即可求解.这正是数学思维的基本观点之一——方程观点在求函数解析式问题中的应用.

an是关于n的未知函数.由已知条件,事先无法估计an的解析式的形式结构,因此不能用待定系数法求an.但是利用等差数列{bn}和等比数列{an}可以列出关于an+1和an的两个等式,视它们为关于an+1和an的方程组,消去an+1即可得an.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,则
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,则{an}的通项公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{
2n
an
}
的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=
1
2
Sn
为数列的前n项和,且Sn
1
an
的一个等比中项为n(n∈N*
),则
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,则数列{an}的通项公式为(  )
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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