Question

若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（　　）

• A、24
• B、48
• C、72
• D、78

Answer 1

分析：可把连接正方体各顶点的所有直线分成3组，棱，面上的对角线，体对角线，分别组合，找出可能的”理想异面直线对”，再相加即可．

解答：解：先把连接正方体各顶点的所有直线有三种形式．
分别是正方体的棱，有12条，各面对角线，有12条，体对角线，有4条．
分几种情况考虑
第一种，各棱之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有4条棱和它垂直，∴共有

4×12

2

=24对
第二种，各面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每相对两面上有2对互相垂直的异面对角线，∴共有

2×6

2

=6对
第三种，各棱与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有2条面上的对角线和它垂直，共有2×12=24对
第四种，各体对角线与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条体对角线有6条面上的对角线和它垂直，共有6×4=24对
最后，把各种情况得到的结果相加，得，24+6+24+24=78对
故选D

点评：本题考查了异面直线的判断，属于基础题．