Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n=2a_n-1+1，依次计算a₂，a₃，a₄后，猜想a_n的一个表达式是（　　）

A．n²-1

B．（n-1）²+1

C．2ⁿ-1

D．2^n-1+1

Answer 1

分析：由递推式可求得数列的前4项，从而可猜想a_n，通过构造等比数列可求证．

解答：解：由a₁=1，当n≥2时，a_n=2a_n-1+1，得
a₂=2a₁+1=2×1+1=3，a₃=2a₂+1=2×3+1=7，a₄=2a₃+1=2×7+1=15，
猜想an=2n-1，证明如下：
由a_n=2a_n-1+1，得a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
则a_n+1=2ⁿ，∴an=2n-1，
故选C．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项公式，考查学生观察分析能力及推理论证能力．