Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面BEF：
（Ⅱ）设PA=h，若二面角E-BD-C大于45°，求h的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直，而AB⊥BF．根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；
（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，
故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，
在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF． （6分）
（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，
∵AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点．
∴AB的长为1，则$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，1$\frac{k}{2}$）
设平面CDB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），平面EDB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{y+\frac{hz}{2}=0}\end{array}\right.$，取y=1，可得$\overrightarrow{n}$=（2，1，-$\frac{2}{h}$），
设二面角E-BD-C的大小为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|═$\frac{\frac{2}{h}}{\sqrt{{2}^{2}+1+\frac{4}{{h}^{2}}}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化简得h${\;}^{2}＞\frac{4}{5}$，则h＞$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．