已知函数f(x)=的图像在点
(
为自然常数)处的切线斜率为3.
(Ⅰ)求实数的值
(Ⅱ)若,且
对任意的
恒成立,求
得最大值
(Ⅲ)当时,证明
(1)因为f(x)=ax+xlnx,所以f'(x)=a+lnx+1.(1分)
因为函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3,
所以f'(e)=3,即a+lne+1=3.所以a=1.(2分)
(2)解:由(1)知,f(x)=x+xlnx,
所以对任意x>1恒成立,即
对任意x>1恒成立.(3分)
令,则
,(4分)
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),则,
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.(5分)
因为h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4).
当1<x<x0时,h(x)<0,即g'(x)<0,当x>x0时,h(x)>0,即g'(x)>0,
所以函数在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.
.(7分)
所以k<[g(x)]min=x0∈(3,4).故整数k的最大值是3.(8分)
(3)证明:由(2)知,是[4,+∞)上的增函数,(9分)
所以当n>m≥4时,.(10分)
即n(m﹣1)(1+lnn)>m(n﹣1)(1+lnm).
整理,得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+(n﹣m).(11分)
因为n>m,所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.(12分)
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn.
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).(13分)
所以(mnn)m>(nmm)n.(14分)
证明2:构造函数f(x)=mxlnx+mlnm﹣mxlnm﹣xlnx,(9分)
则f'(x)=(m﹣1)lnx+m﹣1﹣mlnm.(10分)
因为x>m≥4,所以f'(x)>(m﹣1)lnm+m﹣1﹣mlnm=m﹣1﹣lnm>0.
所以函数f(x)在[m,+∞)上单调递增.(11分)
因为n>m,所以f(n)>f(m).
所以mnlnn+mlnm﹣mnlnm﹣nlnn>m2lnm+mlnm﹣m2lnm﹣mlnm=0.(12分)
即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn.
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).(13分)
所以(mnn)m>(nmm)n.
【解析】略
科目:高中数学 来源:江苏省泰州中学2010-2011学年高二下学期期中考试数学理科试题 题型:044
已知函数f(x)=的图象过点(-1,2),且在点
处的切线与直线x-5y+1=0垂直.
(1)求实数b,c的值;
(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(3)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?
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科目:高中数学 来源:新课标高三数学函数的图象奇偶性、周期性专项训练(河北) 题型:解答题
若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(1)已知函数f(x)=的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值;
(2)已知函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(-∞,0)上的解析式;
(3)在(1)(2)的条件下,当t>0时,若对任意实数x∈(-∞,0),恒有g(x)<f(t)成立,求实数a的取值范围.
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