Question

9．若方程x²-ax+2=0有且仅有一个根在区间（0，3）内，则a的取值范围是a=2$\sqrt{2}$或a＞$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 由题意知方程在区间上有且只有一个根，分两种情况，即方程x²-ax+2=0有两个相等的实根在区间（0，3）内，方程x²-ax+2=0有两个不等的实根，且在区间（0，1）上有且仅有一个根，进而得到答案．

解答 解：若方程x²-ax+2=0有两个相等的实根，
则△=a²-8=0，
解得：a=$±2\sqrt{2}$，
当a=2$\sqrt{2}$时，x=$\sqrt{2}$，满足条件；
当a=-2$\sqrt{2}$时，x=-$\sqrt{2}$，不满足条件；
若方程x²-ax+2=0有两个不等的实根，且在区间（0，3）上有且仅有一个根，
令f（x）=x²-ax+2．
则f（3）•f（0）＜0
即：（11-3a ）×2＜0
解得：a＞$\frac{11}{3}$，
综上可得：a=2$\sqrt{2}$或a＞$\frac{11}{3}$，
故答案为：a=2$\sqrt{2}$或a＞$\frac{11}{3}$

点评 本题考查一元二次方程根的分布于系数的关系，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，本题解题的关键是对于所给的条件的转化，本题是一个中档题目．