设函数
,其中a为正实数.
(l)若x=0是函数
的极值点,讨论函数
的单调性;
(2)若
在
上无最小值,且
在
上是单调增函数,求a的取值范
围;并由此判断曲线
与曲线
在
交点个数.
试题分析:(1)先求出
,根据已知“
是函数
的极值点”,得到
,解得
,将其代入
,求得
,结合函数
的定义域,利用导数求函数
的单调区间;(2)先研究函数
在区间
没有极小值的情况:
,当
时,
在区间
上先减后增,有最小值;当
时,
在区间
上是单调递增的,没有最小值.再研究函数
在区间
上是单调增函数:
在
上恒成立,解得
.综合两种情况得到
的取值范围.根据
可知
,利用导数研究函数
的单调性,得到
在区间
上的最小值是
,与
的取值范围矛盾,所以两曲线在区间
上没有交点.
试题解析:(1) 由
得
, 2分
的定义域为:
, 3分
,函数
的增区间为
,减区间为
. 5分
(2)
,
若
则
在
上有最小值
,
当
时,
在
单调递增无最小值. 7分
∵
在
上是单调增函数∴
在
上恒成立,
∴
. 9分
综上所述
的取值范围为
. 10分
此时
,
即
,
则 h(x)在
单减,
单增, 13分
极小值为
. 故两曲线没有公共点. 14分
练习册系列答案
相关习题
科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
已知函数
,
(
,
为自然对数的底数).
(1)当
时,求
的单调区间;
(2)对任意的
,
恒成立,求
的最小值;
(3)若对任意给定的
,在
上总存在两个不同的
,使得
成立,求
的取值范围.
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科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
已知函数
.
(1)若函数满足
,且在定义域内
恒成立,求实数b的取值范围;
(2)若函数
在定义域上是单调函数,求实数
的取值范围;
(3)当
时,试比较
与
的大小.
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科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
设函数
。
(1)如果
,求函数
的单调递减区间;
(2)若函数
在区间
上单调递增,求实数
的取值范围;
(3)证明:当
时,
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科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
已知函数
=
,
=
,若曲线
和曲线
都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线
.
(Ⅰ)求
,
,
,
的值;
(Ⅱ)若
时,
≤
,求
的取值范围.
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科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
已知函数
.
(Ⅰ) 求
的单调区间;
(Ⅱ) 求所有的实数
,使得不等式
对
恒成立.
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科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
设函数
.
(Ⅰ)证明:当
,
;
(Ⅱ)设当
时,
,求
的取值范围.
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