Question

已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：设三边：a、qa、q²a、q＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，把a、qa、q²a、代入，分q≥1和q＜1两种情况分别求得q的范围，最后综合可得答案．

解答： 解：设三边：a、qa、q²a、q＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，即
（1）当q≥1时a+qa＞q²a，等价于解二次不等式：q²-q-1＜0，由于方程q²-q-1=0两根为：

1- 5

2

和

1+ 5

2

，
故得解：

1- 5

2

＜q＜

1+ 5

2

且q≥1，
即1≤q＜

1+ 5

2

（2）当q＜1时，a为最大边，qa+q²a＞a即得q²+q-1＞0，解之得q＞

1- 5

2

或q＜-

1+ 5

2

且q＞0
即q＞

1- 5

2

，所以0＜q＜q
综合（1）（2），得：q∈（0，

1+ 5

2

）
故答案为：（0，

1+ 5

2

）．

点评：本题主要考查了等比数列的性质，要注意分类讨论，属中档题．