Question

已知函数f（x）=（x²-2ax）e^x，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，得到切线斜率为0，然后建立方程关系即可求a的值；
（Ⅱ）根据函数的导数和极值的关系即可求函数f（x）的极值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=（x²+2x-2ax-2a）e^x，
∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，
∴f'（1）=3-4a=0，
解得a=

3

4

．
（Ⅱ）f（x）=（x²-2ax）e^x=（x²-

3

2

x）e^x，
f'（x）=（x²+2x-

3

2

x-

3

2

）e^x=（x²+

1

2

x-

3

2

）e^x，
令f'（x）=0，有x=1或x=-

3

2

，
由f'（x）＞0得x＜-

3

2

或x＞1，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0得-

3

2

＜x＜1，此时函数单调递减．
∴当x=-

3

2

时，f（x）取得极大值

9

2

e-

3

2

，
当x=1时，f(x)取得极小值-

1

2

e．

点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握导数的几何意义以及利用导数求函数的极值，考查学生的计算能力．