Question

△ABC的三个顶点都在椭圆4x²+5y²=80上，点A是椭圆短轴的上端点，且这个三角形的重心是椭圆的右焦点，求直线BC的方程．

Answer 1

分析：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）进而根据椭圆方程求得b和c，进而可求得A，F₁的坐标，根据三角形的重心的性质可分别求得x₁+x₂和y₁+y₂，把B，C点代入椭圆方程后两式相减，进而求得直线BC的斜率，设出直线BC的方程，把B，C点坐标代入两式相加求得b，则直线BC方程可得．

解答：解：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
整理椭圆方程得

x2

20

+

y2

16

=1
∴短轴b=4 a=2

5

∴c=

20-16

=2，则A（0，4 ） F₁（2，0）
∴

0+x1+x2

3

=2，x₁+x₂=6
同理y₁+y₂=-4
又4（x₁+x₂）+5（y₁+y₂）×k=0
∴k=

6

5

k为BC斜率
令BC直线为：y=

6

5

x+b
则：y₁+y₂=

6

5

（x₁+x₂）+2b
b=-

28

5

∴BC直线为：y=

6

5

x-

28

5

即5y-6x+28=0

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．