Question

2．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别a，b，c，已知$\overrightarrow m=（{\frac{cosB}{b}+\frac{cosC}{c}，sinA}）$，$\overrightarrow n=（{\frac{1}{a}，1}）$，且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$
（1）证明sinBsinC=sinA；
（2）若a²+c²-b²=$\frac{10}{13}$ac，求tanC．

Answer 1

分析 （1）运用向量共线的坐标表示，结合正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理即可得证；
（2）运用余弦定理和同角的基本关系式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）证明：由$\overrightarrow m=（{\frac{cosB}{b}+\frac{cosC}{c}，sinA}）$，$\overrightarrow n=（{\frac{1}{a}，1}）$，且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，
可得$\frac{sinA}{a}$=$\frac{cosB}{b}$+$\frac{cosC}{c}$，
由正弦定理可得$\frac{sinA}{sinA}$=$\frac{cosB}{sinB}$+$\frac{cosC}{sinC}$=1，
即有sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，
即为sin（B+C）=sinBsinC，
则sinBsinC=sinA；
（2）由（1）$\frac{cosB}{sinB}$+$\frac{cosC}{sinC}$=1，
可得tanB+tanC=tanBtanC，
由a²+c²-b²=$\frac{10}{13}$ac，
由余弦定理可得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{10}{13}$•$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{5}{13}$，
sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$，
可得tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{12}{5}$，
则tanC=$\frac{tanB}{tanB-1}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{12}{5}-1}$=$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查向量的共线的坐标表示，考查正弦定理、余弦定理的运用，同时考查三角函数的恒等变换，以及运算和化简能力，属于中档题．