Question

已知椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，它的一个顶点为A（0，2），离心率e=

6

3

．
（1）求椭圆的方程；（2）直线l：y=kx-2（k∈R且k≠0），与椭圆相交于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点且有AP⊥MN，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用题中条件列出方程组

b=2 c a = 6 3 a2=b2+c2

，解方程组即可求椭圆的方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立，可得关于点M、N坐标的等式，再利用中点坐标公式求出点P的坐标，代入由AP⊥MN得到的KAP=-

1

k

 即可 求实数k的值．

解答：解：（1）由它的一个顶点为A（0，2），离心率e=

6

3

．得

b=2 c a = 6 3 a2=b2+c2

，
解得

a2=12 b2=4 c2=8

，
故椭圆的方程

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）联立

x2 12 + y2 4 =1 y=kx-2

?（1+3k²）x²-12kx=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y）
则x1+x2=

12k

1+3k2

，
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-

4

1+3k2

．
故x=

6k

1+3k2

，y=-

2

1+3k2

             
有AP⊥MN?KAP=-

1

k

?

- 2 1+3k2 -2

6k 1+3k2

=-

1

k

?

2+2(1+3k2)

6k

=

1

k

?k2=

1

3

?k=±

3

3

．
故实数k的值为 ±

3

3

．

点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆标准方程的求法．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．