Question

在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________．

Answer 1

13
分析：设两个球的球心分别为O₁、O₂，椭圆的长轴为AB，作出由AB与O₁O₂确定平面α与两个球及圆柱的截面，并过A作O₁O₂的垂线，交圆柱的母线于点C，连接O₁与AB切球O₁的切点D．分别在Rt△O₁DE中和Rt△ABC中，利用∠BAC=∠DO₁E和余弦的定义，结合题中的数据建立关系式，即可解出AB的长，即得该椭圆的长轴长．
解答：解：设两个球的球心分别为O₁、O₂，所得椭圆的长轴为AB，
直线AB与O₁O₂交于点E，设它们确定平面α，
作出平面α与两个球及圆柱的截面，如图所示
过A作O₁O₂的垂线，交圆柱的母线于点C，设AB切球O₁的大圆于点D，连接O₁D
∵Rt△O₁DE中，O₁E=O₁O₂=，O₁D=6
∴cos∠DO₁E==
∵锐角∠DO₁E与∠BAC的两边对应互相垂直
∴∠BAC=∠DO₁E，
得Rt△ABC中，cos∠BAC==
∵AC长等于球O₁的直径，得AC=12
∴椭圆的长轴AB=13
故答案为：13
点评：本题给出圆柱内两个与圆柱相切且半径相等的球，在已知球心距离的情况下求同时与两个球相切的平面截圆柱得椭圆的长轴的长度．着重考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中余弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题．