Question

对于在区间[p，q]上有意义的两个函数f（x），g（x），若对于所有的x∈[p，q]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在区间[p，q]上是接近的两个函数，否则称它们在区间[p，q]上是非接近的两个函数．现在给定区间D=[a+2，a+3]，有两个函数f(x)=loga(x-3a)，g(x)=loga

1

x-a

，其中a＞0且a≠1．
（1）若f（x）和g（x）在区间D上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论f（x）和g（x）在区间D上是否为接近的两个函数．

Answer 1

分析：（1）由f（x）和g（x）在区间D上都有意义，即

x-3a＞0 x-a＞0

且a+2＞3a，求得a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求出|f（x）-g（x）|≤1时a的取值范围，得到f（x）和g（x）在区间D上是接近的两个函数；否则，是非接近的两个函数．

解答：解：（1）∵函数f(x)=loga(x-3a)，g(x)=loga

1

x-a

，其中a＞0且a≠1，
∴

x-3a＞0 x-a＞0

，即x＞3a；
又区间D=[a+2，a+3]，
∴a+2＞3a，
∴0＜a＜1；
∴a的取值范围是{a|0＜a＜1}；
（2）∵|f（x）-g（x）|=|log_a（x-3a）-log_a

1

x-a

|=|log_a（x²-4ax+3a²）|=|log_a[（x-2a）²-a²]|，
当x∈D时，（x-2a）²-a²∈[4-4a，9-6a]，
令h(x)=loga(x2-4ax+3a2)，
则h（x）_min=h（a+3）=log_a（9-6a），h（x）_max=h（a+2）=log_a（4-4a），
要使得|f（x）-g（x）|≤1，
则

0＜a＜1 loga(9-6a)≥-1 loga(4-4a)≤1

，解得0＜a≤

9- 57

12

，
∴当a∈(0，

9- 57

12

]时，f（x）和g（x）在区间D上是接近的两个函数；
当a∈(

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，1)时，f（x）和g（x）在区间D上是非接近的两个函数．

点评：本题考查了新定义下的函数的定义域、值域问题，以及函数与不等式的综合应用问题，是易错题．