Question

已知函数f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值，
（Ⅱ）已知过点P（1，f（1）），Q（e，f（e））的直线为l，则必存在x₀∈（1，e），使曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线与直线l平行，求x₀的值，
（Ⅲ）已知函数g（x）图象在[0，1]上连续不断，且函数g（x）的导函数g'（x）在区间（0，1）内单调递减，若g（1）=0，试用上述结论证明：对于任意x∈（0，1），恒有g（x）＞g（0）（1-x）成立．

Answer 1

分析：（I）由题意先对函数f（x）=lnx-ax求其导函数，并利用导函数分析单调性并求其极值；
（II）利用已知直线上两点写出其斜率的式子，再利用导数的几何含义写出直线的斜率，进而建立方程求解即可；
（III）利用（II）的结论实质，依照题意即可求证结论．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0）
①若a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）不存在极值．
②若a＞0令f'（x）=0得x=

1

a

，
当x∈(0，

1

a

)时，f^′（x）＞0，此时函数f（x）在此区间上单调递增；
当x∈(

1

a

，+∞)时，f^′（x）＜0，此时函数f（x）在此区间上单调递减；
∴f（x）_极大值=f(

1

a

)=-lna-1
综上：当a≤0时，f（x）没有极大值，当a＞0时，f（x）_极大值=-lna-1．
（Ⅱ）直线l的斜率k=

f(e)-f(1)

e-1

=-a+

1

e-1

，
∵x₀∈（1，e），
依题意有f'（x₀）=-a+

1

e-1

即

1

x0

-a=-a+

1

e-1

得x₀=e-1∈（1，e），
故x₀=e-1
（Ⅲ）①f'（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

或(

f(a)-f(b)

a-b

)
由以上结论得：对区间[0，x]存在x₁∈[0，x]使g'（x₁）=

g(x)-g(0)

x-0

同样对区间[x，1]存在x₂∈[x，1]使g'（x₂）=

g(1)-g(x)

1-x

=

-g(x)

1-x

依题意得：g'（x₁）＞g'（x₂）即

g(x)-g(0)

x-0

＞

-g(x)

1-x

化简得g（x）＞g（0）（1-x）成立．

点评：（I）此问重点考查了利用函数的导函数求解极值，并在判断函数单调性时考查了解不等式时的分类讨论的思想；
（II）此问重点考查了直线的斜率公式及利用导数的几何意义，进而建立斜率的方程；
（III））此问重点考查了对于（II）的结论的理解与应用．