Question

17．已知cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=$\frac{1}{3}$，且α∈（$\frac{3}{2}$π，2π），求cos2α及cos（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的余弦公式求得 cosα 的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．再利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，可得cos2α和sin2α的值，从而利用两角和差的余弦公式求得cos（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=cos[（α+β）-β]=cosα=$\frac{1}{3}$，
∴cos2α=2cos²α-1=-$\frac{7}{9}$．
再根据α∈（$\frac{3}{2}$π，2π），可得sinα=-$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sin2α=2sinαcosα=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{4}$）=cos2αcos$\frac{π}{4}$-sin2αsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{7}{9}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-（-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$）$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{9}$-$\frac{7\sqrt{2}}{18}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．