Question

7．（平行班做） 已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式和和差化积公式将函数转化为正弦函数，由正弦函数来求其最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调区间来求x在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1，
=2（cos$\frac{π}{6}$sin2x+sin$\frac{π}{6}$cos2x）+1，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$（k∈Z）；

（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{7π}{6}$]，
∴函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域是：[-1，2]．

点评 本题考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力，三角函数的图象和性质，整体换元的思想方法．