Question

已知直线l：y=kx+b，曲线M：y=|x²-2|．
（1）若k=1且直线与曲线恰有三个公共点时，求实数b的取值；
（2）若b=1，直线与曲线M的交点依次为A，B，C，D四点，求|AB+|CD|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，直线和半圆只有一个交点或直线过点（-

2

，0），两种情况分别求出实数b的取值．
（Ⅱ）先利用弦长公式求出直线和抛物段的2个交点间的距离AD的长度，同理求出直线与半圆的2个交点间的距离
BC的长度，利用|AB|+|CD|=|AD|-|BC|求出|AB+|CD|的取值范围．

解答：解（Ⅰ）分两种情况：
1）

y=x+b y=-x2+2

有惟一解，即x²+x+b-2=0在（-

2

，

2

）内有一解，
由△=1-4b+8=0，得 b=

9

4

，符合．
2）直线过点（-

2

，0），得0=-

2

+b，得b=

2

，
综上，实数b为

9

4

 或

2

．
（Ⅱ）由

y=x2-2|x|≥ 2 y=kx+1

，得x²-kx-3=0，
则有：|AD|=

(k2+1)(k2+12)

，且  -

2

2

＜k＜

2

2

．
由

y=-x2+2|x|＜ 2 y=kx+1

，得 x²+kx-1=0，则有：|BC|=

(k2+1)(k2+4)

．
所以，|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=

(k2+1)(k2+12)

-

(k2+1)(k2+4)

=

8 k2+1

k2+12 + k2+4

=

8

1+ 11 k2+1 + 1+ 3 k2+1

，且 -

2

2

＜k＜

2

2

．
令t=k²，则 0≤t＜

1

2

，则y=

(t+1)(t+12)

-

(t+1)(t+4)

，且函数y是增函数，
所以，y∈[2

3

-2，

3

)．

点评：本题考查二次函数的图象特征，直线和二次曲线的位置关系，体现了数形结合及分类讨论的数学思想，属于中档题．